摘录：Kempe给出的诠释注解被Heawood举出一个反例推翻。本文分析了Heawood的反例，指出了Heawood反例中径直聘请Kempe换色规范存在的矛盾。通过对Heawood反例的第二次换色条目的分析，进一步欺诈Kempe换色规范张筱雨人体艺术，告捷诠释注解显豁“四色定理”。

要津字：图论 平面图

MR分类号：05C15

1 小序 

“四色定理”又称“四色猜念念”，一个多世纪以来，引发了无数的数学群众和深爱者的征询[1][2]。繁多数学家花了100多年的时辰要诠释注解这个听起来相称简短的猜念念，效果均以失败告终。1890年，P.J.Heawood指出了Kempe诠释注解中的诞妄，聘请Kempe的“色交换工夫”，诠释注解了“五色定理”。1976年7月，好意思国伊利诺大学的两位数学家Kenneth Appel和Wolfgang Hanken用想象机诠释注解了“四色猜念念”培植。借助于机器诠释注解“四色定理”是当代想象机应用所获得的一个首要的建立，但由于问题的简短和诠释注解的复杂，使得此证较着得不相称理念念。本文分析了Heawood给出的反例，指出了径直聘请Kempe换色规范存在矛盾导致Kempe换色失败。通过对Heawood反例的第二次换色条目的分析，进一步欺诈Kempe换色规范，诠释注解了“四色猜念念”的培植。

2 Kempe诠释注解及Heawood反例

Kempe通过引入不可免完备集F ={O，P，Q，R}（图1），聘请色交换，“诠释注解”最小图G不存在来诠释注解四色定理。但是在诠释注解G不含构型R时，由Heawood给出了反例（图2）[2]，从而发现了Kempe诠释注解中的时弊。

v

v

   P

v

v

   Q

      O

 图1 Kempe诠释注解中的不可完备集

       举例，设NG(v)={v1，v2，v3，v4，v5}，π=(Vb，Vr，Vy，Vg)是G-v的一种4染色，图中字母b，r， y，g示意四种不同的神志。v2和v4在Gb，g中是连通的，v2和v5在Gb，y中亦然连通的。因此无论交换Gb，g中的神志如故交换Gb，y中的神志，皆弗成空出一种神志来给v。v1和v4在Gr，g中不连通，因此不错探究交换Gr，g含v1分支中的神志（图中括号中的神志）。但π(v3)=r，因此弗成空出神志来染点v。又因v3和v5在Gr，y中不连通，是以探究交换Gr，y含v3分支中的神志。于是v3被染上y。神志r虽被空出来了，但此时相邻南北特地6和7皆被换成神志r。由此诠释Kempe的诠释注解中包含了一个时弊。

       接下来本文领先分析了Kempe对G不含构型Q的诠释注解，然后分析Heawood反例，临了给出新的诠释注解。

3 Kempe对G不含构型Q

教养图3，淌若特地v1，v2，v3 ，v4只用了少于四种的染色，较着把第四种神志对v染色。假若否则，那么v1，v2，v3 ，v4使用了四种神志，设为b，r， y，g。淌若v1和v3在Gr，y中不是连通的，那么不错探究交换Gr，y分支中的神志（含v1分支或含v3分支皆不错），从而空出一种神志对v染色。否则，那么Gr，y+v组成一个圈，从而v2，v4在Gb，g中不连通，不错换色，从而空出一种神志对v染色。

由上述诠释注解，咱们不错得到如下引理：

引理1：淌若图G的三个特地v1，v3 ，v4聘请三种神志染色且在各自的两色导出子图中皆连通，从而其中必存在一个特地，与染第四种神志的第四个特地在其两色导出子图中不连通。这是诠释注解G不含构型Q的本色。

 6

图2 Heawood反例

v4(g)

v1(r)

v2(b)

v3(y)

v

图3

4 Heawood反例分析

       在Heawood反例中，v2和v4在Gb，g中是连通的，v2和v5在Gb，y中亦然连通的，是以弗成对它们进行换色。阐发引理一，较着v1，v3必区别与其中的一个特地在其两色导出子图不连通，即v1，v4和v3， v5在Gr，g和Gr，y中不连通。Kempe的作念法是区别对其换色，从而得到“诠释注解”。而Heawood反例指出，区别换色后可能得到矛盾的效果。那么其原因在哪儿呢？

       通过教养图2，咱们发现，在进程第一步换色之后，其实是得到了一个新的图，只不外某些特地的神志发生了变化，但仍然保抓为4染色。这个恰正是Kempe诠释注解中莫得探究的问题！Kempe莫得教养新图，念念虽然的仍然聘请原图的主义进行换色。Heawood收拢这少许指出了其中的问题。如图所示，第一换色完成后，新得到的图中，v3和v5在Gr，y中的议论发生了变化，仍是从不连通变为连通了。较着，淌若仍旧按照原图换色，必将得到矛盾。

       因此，有必要教养第一次换色完成后新的图的性质，从而得到如下诠释注解。

5 四色诠释注解

假定图G含有构型R，则染色神态有两种情况，如图4(a)和4(b)所示，字母b，r， y，g示意四种不同的神志。淌若在v2，v4，v5三个特地中存在两个特地在其两色导出子图中不连通，则不错通过换色，空出一种神志给v。否则v2，v4，v5在其两两两色导出子图皆连通。阐发引理1，关于v1和v3，在v2，v4，v5平区别存在一个特地，在其各自的两色导出子图中不连通。淌若它们对应于并吞个特地，那么只可如图4(a)所示，此特地为v4。较着不错同期实行换色（对v1和v3场合分支。淌若v1和v3连通，则一次换色就可告捷），空出g神志给v。

否则，v1和v3区别对应不同的特地，那么只可如图4(b) 所示，其中v1和v4在Gr，g中不连通，v3和v5在Gr，y中不连通。第一步操作，交换Gr，g含v1分支中的神志，得到新的图G’。教养图G’，淌若v3和v5在G’r，y中仍旧不连通，那么不错交换G’r，y含v3分支中的神志。这么空出神志r给v。否则，v3和v5在G’r，y中酿成连通的了，这个时候就弗成再进行换色（这正是Heawood反例的情况）。但是当今，教养G’r，y+v，当今仍是是一个圈了，关于特地v2，v4，仍是从Gb，y中连通酿成了G’b，y中的不连通。较着关于G’b，y不错进行换色（对含v2或v4的分支皆不错），从而空出一种神志染v。因此得到图G可染色，从而不存在构型R。四色定理得证。

当今咱们分析在什么样的情况下会导致v3和v5在G’r，y中的议论发生了变化。第一步换色操作，把Gr，g含v1分支中的r和g神志进行了交换，导致v3和v5在G’r，y中连通。较着子图G’r，y莫得神志g的特地，因此必有一个r色特地是从换色操作得到的。又由于与r色特地相邻的特地神志只但是y，由此算计在原图G中，在子图Gr，g的v1分支中必存在一个g色特地，在其相邻特地中存在两个y色特地，其中一个y色特地在Gr，y的含v3分支中，另一个y色特地在Gr，y的含v5分支中。关于Heawood反例图2来说，这个特地即是7特地。

v4(g)

v1(r)

V5(y)

v

v2(r)

v3(b)

v4(g)

v1(r)

V5(y)

v

v2(b)

v3(r)

6 论断

       通过上头的分析，咱们不错毫无疑问的说，“四色定理”是培植的。而问题的要津则是对Kempe换色规范的进一步应用。

[1]  徐俊明， 图论偏激应用， 合肥：中国科学工夫大学出书社，1998

[2]  王树禾， 图论， 北京：科学工夫出书社，2004

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